(3) 크기 변형에 의한 재활용

이전 장에서 기본 함수의 그래프의 평행이동을 알아보았습니다.

그렇다면 y=f(x)의 그래프가 있을 때, 이것을 재활용하여 y=f(ax) 또는 y=af(x)의 그래프를 그릴 수 있을까요?
정답은 "그렇다" 입니다.
y=f(x)의 그래프를 재활용해서 y=f(ax) 또는 y=af(x)의 그래프를 그릴 수 있습니다.
이것은 x축, y축 방향으로의 확대, 축소와 관련이 있습니다.

먼저, y=f(ax)의 그래프에 대하여 알아보겠습니다.

y=sinx의 그래프로 y=sin2x의 그래프를 얻으려고 합니다.
식을 잘 살펴보면, y=sin2x는 y=sinx에서 x 자리에 2x를 대입한 것입니다.

또한, y=sinx에 x=2a를 넣었을 때의 y의 값과 y=sin2x에 x=a를 넣었을 때의 y의 값이 서로 같습니다.
이것은 곡선 y=sin2x 위의 한 점에서 x좌표만 2배 하면 y=sinx 위의 점이 된다는 것을 의미합니다.
즉, y=sin2x의 그래프를 가로 방향으로 200% 확대하면 y=sinx의 그래프가 됩니다.

바꾸어 말하면 y=sinx의 그래프를 가로 방향으로 50% 축소하면 y=sin2x의 그래프가 됩니다.

이 사실을 일반화하면, y=f(ax)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를 가로 방향으로 1/a배 크기조절하여 얻을 수 있습니다.

y=f(x)의 그래프를 재활용하여 y=af(x)의 그래프를 그리는 것은 아주 쉽습니다.
af(x)는 f(x)를 a배 한 것이므로, 세로 방향으로 a배만큼 크기조절하면 됩니다.


지금까지의 결과를 종합하면 아래 그림과 같습니다.

y=f(ax)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를, a>1이면 x축 방향으로 축소하고, 0<a<1이면 x축 방향으로 확대해서 얻을 수 있습니다.
y=af(x)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를, a>1이면 y축 방향으로 확대하고, 0<a<1이면 y축 방향으로 축소해서 얻을 수 있습니다.
y=f(ax)는 가로방향으로, y=af(x)는 세로방향으로 크기조절을 하여 얻을 수 있습니다.


이 사실을 응용하면 기본 함수의 그래프를 재활용해서 여러 가지 함수의 그래프를 그릴 수 있습니다.

y=ex의 그래프로 y=2x의 그래프를 그릴 수 있을까요?
이것 역시 가능합니다

2x=eln2·x이므로 y=ex의 그래프를 x축 방향으로 1/ln2(=144.2695%)배 확대하여 얻을 수 있습니다.

이것을 일반화하면, y=ax의 그래프는 y=ex의 그래프를 x축 방향으로 1/lna배 크기조절하여 얻을 수 있습니다.

지수함수의 경우, function.ai 파일에는 곡선 y=ex의 -4≤x≤2인 부분만 있습니다.
y=ax의 그래프를 얻을 때, x의 범위도 같이 바뀌게 됩니다.
이걸 신경써줘야 하는 상황이 있는데, 아래 상황을 통해서 알아보도록 하겠습니다.

문제에서 y=6x의 그래프가 필요한데, -3≤x≤-1인 부분이 필요하다고 해봅시다.
앞에서 설명한 대로 y=ex의 그래프를 가로방향으로 1/ln6(=55.811%)배 크기조절하여 y=6x의 그래프를 얻었습니다.

하지만 문제가 생겼습니다. 그래프가 -3≤x≤-2인 구간에서 끝납니다.
분명히 문제에서 곡선 y=6x의 -3≤x≤-2인 부분이 필요하다고 했는데, 중간에 그래프가 끝나버렸습니다.
나머지 부분은 수학적 지식을 이용하여 그릴 수 있습니다.

6x+1=6×6x이므로 곡선 y=6x의 -3≤x≤-2인 부분은 -2≤x≤-1인 부분을 세로로 1/6배 축소한 것과 같습니다.
마찬가지로, x≤0인 부분만 남았는데 0≤x≤1인 부분을 얻고 싶다면, -1≤x≤0인 부분을 세로로 6배 확대하면 원하는 부분을 얻을 수 있습니다.