(3) 역삼각함수

작도를 소개하기에 앞서, 작도 과정에서 자주 쓰이는 역삼각함수에 대하여 알아보도록 하겠습니다.


1. 역삼각함수의 정의

사인함수, 코사인함수는 정의역이 실수 전체의 집합이므로 역함수가 존재하지 않습니다.
하지만, 정의역을 적절한 범위 내로 제한하면 역함수를 생각할 수 있습니다.

에서 함수 는 일대일 대응입니다.
에서 함수 는 일대일 대응입니다.
따라서 두 함수 모두 제한된 범위 내에서의 역함수를 생각할 수 있습니다.
이 함수를 각각

← 아크사인 함수
← 아크코사인 함수

라고 합니다.
아크사인 함수의 치역은 이고, 아크코사인 함수의 치역은 입니다.


탄젠트 함수 의 정의역은 인 모든 실수입니다.
마찬가지로 정의역을 로 제한하면 아크탄젠트 함수 를 얻을 수 있습니다.
또한, 탄젠트함수의 치역은 실수 전체의 집합이므로



입니다. 그리고 모든 실수 x에 대하여



입니다.

역삼각함수의 세 가지 표현을 모두 숙지하셔야 하며, 는 각각 를 의미하는 것이 아님에 유의합시다.



2. 계산기로 역삼각함수 계산하기

시작 - 실행 - calc를 입력하면 계산기를 실행하실 수 있습니다.
(윈도우키+R을 눌러도 실행 창이 뜹니다.)
계산기에서 보기(V) - 공학용(S)을 눌러서 공학용 계산기를 켜면 다음과 같은 화면이 나옵니다.
(단축기인 Alt+2를 눌러도 됩니다.)

지금 화면에서는 기본 삼각함수밖에 안 보이는데, 역삼각함수를 계산하려면 Inv버튼을 누르면 됩니다.

sin, cos, tan이 각각 sin-1, cos-1, tan-1로 바뀐 것을 확인할 수 있습니다.
위 그림과 같이 값을 입력하고 해당하는 함수를 누르면 해당하는 역삼각함숫값이 구해집니다.

계산할 때, 각의 단위에 조심해야 합니다.
빨간색 박스 친 부분을 보면 Degrees, Radians, Grads 항목이 있는데, Degrees에 체크해야 60분법으로 표시된 각을 얻을 수 있습니다.
만약 각을 라디안 단위로 얻고 싶다면 Radians에 체크하면 됩니다.

사인, 코사인 또는 탄젠트 값은 아는데 정확한 각도를 모르는 경우에는 역삼각함수를 이용하여 각을 구할 수 있습니다.


3. 역삼각함수를 이용한 작도

그렇다면 역삼각함수를 이용한 작도 방법을 예시를 통해서 알아보겠습니다.

다음 문제 상황에 맞게 그림을 그려야 한다고 가정해봅시다.

점 A의 위치는 쉽게 잡을 수 있습니다.
하지만 점 B의 위치가 문제입니다.
약간의 계산을 통해서 선분 OA의 길이는 √2이고 선분 AB의 길이는 √3임을 알 수 있습니다.
아래 그림과 같이 선분 OA와 직각을 이루는 직선을 얻을 수 있습니다. (빨간색 선분)

점 B는 빨간색 선분 위 어딘가에 있을 것입니다. 과연 어느 위치에 있을까요?

역삼각함수를 이용하면 점 B의 위치를 작도할 수 있습니다!

우선 문제 상황에서 입니다.
계산기를 이용하여 이 값에 대한 아크탄젠트 함숫값을 구하면 θ는 약 50.77도입니다.
그러므로 선분 OA를 50.77도 회전시키면 됩니다.

이렇게 회전시킨 다음 한 끝점을 원점에 두고 길이를 늘려서 빨간 선분과 만나는 점을 찾으면 됩니다.

이런 식으로 역삼각함수를 작도 과정에서 활용할 수 있습니다.