(4) 공간좌표계

좌표공간의 점을 평면에 표현하는 방법은 여러 가지가 있습니다.
수학 영역 그림에서 공간좌표를 나타낼 때에는 주로 평행투영(parallel projection)을 이용합니다.

평행투영은 물체를 구성하는 각 점에 대하여, 각 점을 지나고 임의의 한 직선에 평행한 직선이 어떤 평면과 만나는 점의 집합으로 평면 위에 물체를 표현하는 방법입니다.
쉽게 말해서, 태양광선에 의해 물체가 비친 모습으로 물체를 표현한다고 생각하면 됩니다.
다음 예시를 통해서 평행투영에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

위 그림과 같이 x좌표, y좌표, z좌표가 0 또는 2인 8개의 점으로 구성된 정육면체를 xy평면에 평행투영할 것입니다.
정육면체의 모서리를 움직이는 점을 P라 할 때, 점 P를 지나고 두 점 (0, 0, 2), (1, 1, 0)을 지나는 직선에 평행한 직선이 xy평면과 만나는 점을 Q라 하면
점 P가 위 그림의 빨간색 점처럼 움직일 때 점 Q는 위 그림의 파란색 점과 같은 자취를 나타낼 것입니다.

xy평면 위에 있는 점들은 이 과정을 거쳐도 그 위치에 그대로 있을 것입니다.
xy평면 위에 있지 않은 꼭짓점들이 옮겨지는 점을 표로 정리하면 아래와 같습니다.
투영 전투영 후
(0, 0, 2)(1, 1, 0)
(2, 0, 2)(3, 1, 0)
(0, 2, 2)(1, 3, 0)
(2, 2, 2)(3, 3, 0)
그리고 이 점들을 연결한 것을 xy평면에 나타내면 아래 그림과 같습니다.

이와 같은 과정이 바로 평행투영입니다.
오른쪽 그림을 보십시오. 입체감이 느껴지지 않습니까?


평행투영은 다음과 같은 성질이 있습니다.
(1) 실제로 평행한 평행선은 투영된 후에도 서로 평행하다.
(2) 두 선분이 서로 평행하면 투영된 후에도 길이비가 유지된다.
공간좌표를 그릴 때마다 일일이 평행투영을 하면 시간이 제법 걸립니다.
그래서 이제부터는 평행투영의 성질을 이용해서 공간좌표를 나타낼 것입니다.


교과서나 시험지에서 보던 좌표공간의 좌표축은 일반적으로 아래 그림처럼 생겼습니다.

x축은 왼쪽 아래로 뻗어나가고, y축은 오른쪽으로, z축은 위쪽으로 뻗어나갑니다.
y축과 z축은 서로 수직이고, x축은 y축, z축과 일정한 각을 이루고 있습니다.

이 좌표계에서, 점 (a, b, c)의 위치를 찾을 때는 평면좌표에서와 같은 방법을 쓰면 됩니다.
평면좌표에서 점 (a, b)의 위치는 원점에서 x축 방향으로 x축 단위길이의 a배만큼, y축 방향으로 y축 단위길이의 b배만큼 이동한 위치입니다.
마찬가지로, 점 (a, b, c)의 위치는 원점에서 x축 방향으로 x축 단위길이의 a배만큼, y축 방향으로 y축 단위길이의 b배만큼, z축 방향으로 z축 단위길이의 c배만큼 이동한 위치입니다.
해당 좌표축의 방향으로 단위길이의 배수만큼 이동한다는 점에서 두 방법은 서로 유사합니다.


이번에는 이 방법에 의하여 점의 좌표를 찾는 공식에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

아래 그림은 아까 전에 정육면체를 평행투영한 것을 나타낸 것입니다.

x축이 y축과 이루는 예각의 크기를 θ라 하고 y축의 단위길이에 대한 x축의 단위길이의 비율을 k라 하면 θ와 k는 위 그림과 같습니다.
(y축의 단위길이와 z축의 단위길이는 같게 표현하고, x축의 단위길이는 y축과 z축의 단위길이보다 약간 작게(k=0.7정도) 표현하는 것이 일반적입니다.
또한, θ는 30도에서 45도 사이로 하는 것이 일반적입니다.)
이 좌표축에서 앞에서 소개한 방법을 그대로 적용하면 됩니다.

위와 같이 공간좌표계와 xy좌표평면을 겹쳐 놓고 기본적인 점의 위치를 표현해보겠습니다.

먼저, 점 A(0, 1, 0)은 원점에서 오른쪽으로 1만큼 이동한 점입니다.
그러므로 분홍색 좌표를 기준으로 표현하면 (1, 0)이 됩니다.
B(0, 0, 1)은 원점에서 위쪽으로 1만큼 이동한 점입니다.
그러므로 분홍색 좌표를 기준으로 표현하면 (0, 1)이 됩니다.
C(1, 0, 0)은 원점에서 회색 x축 방향으로 k만큼 이동한 점입니다.
점 C의 xy좌표 기준 좌표는 오른쪽 그림의 삼각형을 떠올리면 됩니다.
왼쪽으로 kcosθ만큼, 아래쪽으로 ksinθ만큼 이동했으므로 분홍색 좌표를 기준으로 한 좌표는 (-kcosθ, -ksinθ)입니다.

이제 점 (0, 0)에 아래의 세 과정을 적용하면 점 (a, b, c)의 위치를 식으로 표현할 수 있습니다.
x축 방향으로 단위길이의 a배만큼 이동하는 것은 오른쪽으로 a×(-kcosθ)만큼, 위쪽으로 a×(-ksinθ)만큼 이동하는 것과 같습니다.
y축 방향으로 단위길이의 b배만큼 이동하는 것은 오른쪽으로 b만큼 이동하는 것과 같습니다.
z축 방향으로 단위길이의 c배만큼 이동하는 것은 위쪽으로 c만큼 이동하는 것과 같습니다.

오른쪽으로 이동하는 것을 x성분으로, 위쪽으로 이동하는 것을 y성분으로 하면 다음과 같은 식이 나옵니다.
x = b - akcosθ
y = c - aksinθ
이를 정리하면 아래와 같습니다.

y축과 z축의 단위길이가 같고, x축이 y축과 이루는 예각의 크기가 θ이며, y축의 단위길이에 대한 x축의 단위길이의 비율이 k일 때,
좌표공간의 점 (x, y, z)를 좌표평면의 점 (x', y')에 대응시키는 공식은

입니다. 이 관계식을 이용하면 좌표공간의 점을 좌표평면에 손쉽게 나타낼 수 있습니다.

참고자료 : 위키백과