(5) 일반적인 함수의 그래프 그리기

컴퓨터는 오로지 삼차 베지어 곡선만으로 모든 곡선을 표현하므로 같은 초월함수의 그래프는 표현할 수 없습니다.
하지만 곡선을 여러 개 사용하면 대충 비슷하게(하지만 거의 정확하게) 표현할 수 있습니다.
즉, 여러 개의 베지어 곡선을 이용하여 원래 함수의 그래프와 거의 같도록 근사시키는 것이 가장 최선의 방법입니다.

근사시킬 때 사용된 곡선의 개수에 따라서 오차의 정도가 달라집니다.
더 많은 베지어 곡선 조각을 사용할수록 그래프와의 오차는 작아집니다.

간단한 예시를 통해서 이를 알아보도록 하겠습니다.

사차함수 의 그래프를 몇 개의 베지어 곡선으로 근사해보도록 하겠습니다.

먼저 1개의 베지어 곡선으로 근사하는 경우입니다.
구간 [-2, 2]의 양 끝점에서의 함숫값, 미분계수가 같은 삼차함수의 그래프를 그리면 아래와 같습니다.
모양이 좀 많이 다른 것 같습니다.
사차함수를 삼차함수로 표현하려고 했기 때문입니다.

이번에는 구간을 2등분하여, 각 구간에 방금 했던 작업을 반복해보겠습니다.

구간 [0, 2]에서 함수 와 함숫값, 미분계수가 같은 삼차함수의 그래프(빨간색)와
구간 [-2, 0]에서 함수 와 함숫값, 미분계수가 같은 삼차함수의 그래프(파란색)를 그리면 아래와 같습니다.

이번꺼는 실제 그래프와 꽤 비슷합니다.
곡선의 개수를 늘려서 정밀도를 높였기 때문입니다.

베지어 곡선 1개로 근사한 것에 비해 베지어 곡선 2개로 근사한 것이 실제 그래프와 더 비슷하다는 사실로부터
구간을 더 짧게 쪼개서(소구간의 개수를 늘여서) 근사 베지어 곡선의 개수를 늘이면 실제 곡선으로 수렴할 것이라고 추측할 수 있습니다.

구간의 개수 n의 변화에 따른 근사곡선의 양상은 다음과 같습니다.

추측대로입니다. 구간의 개수가 늘어날수록 실제 그래프로 수렴하는 것을 알 수 있습니다.


일련의 과정을 적용하면 외부 프로그램에 의존하지 않고도 실제 그래프와 흡사한 그래프를 얻을 수 있습니다.