(4) 삼차 이하의 다항함수의 그래프

4개의 조절점 , , , 의 위치를 잘 정해 주면 삼차 이하의 다항함수의 그래프를 그릴 수 있습니다.

조절점 A, B, C, D에 의한 베지어 곡선을 매개변수 를 이용하여 나타내면



이고, 이것은



의 꼴로 나타낼 수 있습니다.
가 각각 에 대한 삼차 이하의 다항식이므로 베지어 곡선으로는 삼차 이하의 다항함수에 대해서만 그 그래프를 정확하게 얻을 수 있습니다.


그러면 삼차함수 의 그래프를 그려보겠습니다.

A, B, C, D의 위치를 적절하게 정해서 그 베지어 곡선이 곡선 ()를 나타내도록 해야 합니다.
단순히 곡선을 그리는 것뿐만 아니라, 인 범위에서만 그려지도록 해야 하므로 문제의 해결은 생각만큼 쉽지 않습니다.

매개변수 방정식에서 를 소거했을 때 라는 관계식이 나와야 합니다.
그러려면 에 대한 일차식이어야 합니다.
그런데 그래프의 범위가 이므로 일 때 , 일 때 이 되어야 합니다.

따라서 입니다.
즉, 등식



의 값에 관계없이 항상 성립하도록 , , , 의 값을 정해야 합니다.

좌변을 정리하면



이고, 이 식이 항상 과 같아야 합니다.

계수비교법을 이용하면 , , , 에 대한 연립방정식을 얻을 수 있고, 이를 행렬로 나타내면



입니다. 그러므로



입니다.

여기서 이고 인데, 점 과 점 가 베지어 곡선 위의 점이므로 당연한 결과입니다.
또한, 이고 인데, 는 구간 의 1:2 내분점이고, 은 구간 의 2:1 내분점입니다.
는 구간 을 삼등분하는 점 중에서 (시작점)에 가까운 점, 은 구간 을 삼등분하는 점 중에서 (끝점)에 가까운 점이라고 기억하면 됩니다.



이제 의 식을 맞춰야 합니다.

에서 자리에 을 대입했을 때, 그 결과가 가 되도록 , , , 의 값을 정해야 합니다.
그런데 이것을 직접 계산하기에는 식이 매우 복잡합니다.
(3)에서 설명했던 베지어 곡선의 성질을 이용하면 , , , 의 값을 쉽게 찾을 수 있습니다.

우선, 가 베지어 곡선 위의 점이므로 이고 임은 자명합니다.
은 (3)에서 설명한 정리의 역을 이용하면 구할 수 있습니다.

곡선 인 부분만을 그린다고 할 때, 에서의 접선의 기울기나 에서의 접선의 기울기는 계산할 수 있는 경우가 대부분입니다.
즉, 점 을 지나고 기울기가 인 직선을 작도한 뒤, 작도한 직선이 직선 과 만나는 점을 찾으면 그 점이 두 번째 조절점 B가 됩니다.
세 번째 조절점 C의 위치도 같은 방법으로 구할 수 있습니다.
을 지나고 기울기가 인 직선을 작도한 뒤, 작도한 직선이 직선 과 만나는 점을 찾으면 그 점이 세 번째 조절점 C가 됩니다.

이게 무슨 말인지 싶을 텐데, 실습을 통해서 자세히 알아보도록 하겠습니다.


삼차함수 ()의 그래프를 베지어 곡선을 활용하여 그려봅시다.

4개의 조절점 , , , 의 위치를 정해야 하는데, 앞의 결과를 이용하면 , , , 입니다.
또한 , 입니다.

이 점들을 좌표평면에 표시하면 아래와 같습니다.

이제 두 점 , 의 위치를 찾아야 합니다.

이고 이므로 점 B는 직선 위에 있고, 점 C는 직선 위에 있습니다.
이므로 이고 입니다.

점 A를 지나고 기울기가 3인 직선점 D를 지나고 기울기가 6인 직선을 그리면 아래와 같습니다.

(3)에서 알아본 성질에 의하면 점 B는 빨간색 직선 위 어딘가에 있어야 하고, 점 C는 초록색 직선 위 어딘가에 있어야 합니다.
그런데 점 B는 직선 위에 있고, 점 C는 직선 위에 있습니다.
그러므로 빨간색 직선과 직선 의 교점이 두 번째 조절점 B의 위치이고, 초록색 직선과 직선 의 교점이 세 번째 조절점 C의 위치입니다.

조절점을 위치시킨 결과는 아래와 같습니다.

nucalc로 그린 그래프와의 비교샷을 보면 알 수 있겠지만, 그래프는 정확하게 그려졌습니다.