이번 단원에서는 컴퓨터 그래픽에서 광범위하게 활용되는 베지어 곡선에 대하여 알아볼 것입니다.
일러스트레이터는 베지어 곡선으로 모든 곡선을 표현하므로 베지어 곡선에 대한 이론을 알고 있으면 외부 프로그램에 의존하지 않고 함수의 그래프를 그릴 수 있습니다.


(1) 베지어 곡선의 정의

일러스트레이터는 베지어 곡선을 이용하여 모든 곡선을 표현합니다.
베지어 곡선과 관련된 이론을 알아 두면 순수하게 일러스트레이터만을 이용해서 함수의 그래프를 그릴 수 있습니다.

베지어 곡선은 여러 개의 점에 의하여 정해지는 곡선입니다.
점의 개수와 위치에 따라서 형태와 모양이 달라지는데, 곡선의 모양을 조절한다는 뜻에서 이 점들을 조절점이라고 합니다.

사용된 조절점의 개수에서 1을 뺀 값을 차수(Degree)라고 합니다.
즉, 개의 조절점에 의하여 정의되는 베지어 곡선을 차 베지어 곡선이라고 합니다.


먼저, 2개의 조절점에 의하여 정해지는 일차 베지어 곡선(linear bezier curve)에 대하여 알아보겠습니다.

두 조절점 A, B에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 점 P의 자취를 일차 베지어 곡선이라고 합니다.



이것을 조절점 A, B에 의한 베지어 곡선이라고 합니다. 위 식을 아래와 같이 해석하면 점 P가 나타내는 곡선의 정체를 알 수 있습니다.



가 0 이상 1 이하의 실수이므로 는 모두 0 이상 1 이하인 실수입니다.
그러므로 특정한 에 대하여, 점 P는 두 점 A, B를 로 내분하는 점입니다.

가 0에서 1까지 변하므로 점 P의 자취는 선분 AB입니다.
즉, 일차 베지어 곡선은 선분입니다.


이번엔 조절점의 개수를 하나 늘인 이차 베지어 곡선(quadratic bezier curve)에 대하여 알아보겠습니다.
이차 베지어 곡선은 2개의 일차 베지어 곡선에 의하여 정의됩니다.

세 점 A, B, C에 대하여 두 조절점 A, B에 의한 베지어 곡선과 두 조절점 B, C에 의한 베지어 곡선은 다음과 같이 표현될 것입니다.




이것을 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

여기서, 두 점 P, Q를 로 내분하는 점 R를 생각할 수 있습니다. 즉,



인 점 R를 생각할 수 있습니다.

의 값이 달라지면 두 점 P, Q의 위치도 달라질 것이며, 그러면 점 R의 위치도 달라질 것입니다.
가 0과 1 사이의 값을 가지며 변할 때, 점 R의 자취를 나타내면 아래 그림의 초록색 곡선과 같습니다.

위의 초록색 곡선을 세 조절점 A, B, C에 의한 베지어 곡선이라고 합니다.

의 식에 , 를 대입하면



가 됩니다.

즉, 세 조절점 A, B, C에 의한 베지어 곡선은



를 만족시키는 점 의 자취입니다.


이제 컴퓨터에서 가장 많이 사용되는 삼차 베지어 곡선(cubic bezier curve)에 대하여 알아보겠습니다.

삼차 베지어 곡선은 4개의 조절점에 의하여 정의되며, 일차 베지어 곡선에서 이차 베지어 곡선을 얻었을 때와 비슷한 방법으로 얻을 수 있습니다.

삼차 베지어 곡선을 정의할 때는 이차 베지어 곡선 두 개가 필요합니다.
네 점 A, B, C, D에 의한 베지어 곡선은 세 점 A, B, C에 의한 베지어 곡선과 세 점 B, C, D에 의한 베지어 곡선에 의해 정해집니다.

세 점 A, B, C에 의한 베지어 곡선은



를 만족시키는 점 P의 자취이고, 세 점 B, C, D에 의한 베지어 곡선은



을 만족시키는 점 Q의 자취입니다.

일차 베지어 곡선에서 이차 베지어 곡선을 얻었을 때처럼두 점 P, Q를 로 내분하는 점 R를 생각할 수 있습니다.
즉,



인 점 R를 생각할 수 있으며, 점 R의 자취가 바로 삼차 베지어 곡선입니다.

, , , 에 대하여 정리하면



입니다.

이를 일반화하면, 개의 조절점 , , , 에 의한 베지어 곡선은 조절점 , , , 에 의한 베지어 곡선과 조절점 , , , 에 의한 베지어 곡선에 의하여 결정됩니다.
개의 조절점 , , , , 에 의한 베지어 곡선의 식은

()

임을 알 수 있습니다.

일반적으로 컴퓨터에서는 삼차 베지어 곡선까지만 사용하며, 사차 이상의 베지어 곡선은 연산량이 많기 때문에 사용하지 않습니다.