(3) 일러스트레이터와 일차변환

일러스트레이터의 변환 중 크기 조절, 회전, 반사, 기울이기는 R2에서 R2로의 일차변환입니다.

일차변환을 하려면 먼저 변환의 중심에 대하여 알아야 합니다.

여러 개의 개체를 동시에 선택하면 위 그림과 같이 파란색 혹은 다른 색의 테두리가 직사각형 모양으로 생기게 됩니다.
이 직사각형의 중심(빨간색으로 표시한 점)이 바로 변환의 중심입니다.

변환의 중심은 일차변환에서 원점에 해당하는 점입니다.
모든 일차변환에 의하여 원점은 원점으로 옮겨지는 것처럼 변환의 중심은 변환 후에도 원래 위치를 유지합니다.


이제부터 각각의 일차변환의 행렬에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

(1) 크기 조절

크기 조절 대화 상자에서 가로(H)의 값을 a라 하고 세로(V)의 값을 b라 하면 점 (x, y)(ax, by)로 옮겨집니다.
그러므로 크기 조절을 나타내는 일차변환은
x' = ax
y' = by
입니다. 또한, 이 일차변환을 나타내는 행렬은

입니다.


(2) 회전

회전 대화 상자에서 각도(A)의 값을 θ라 하면 x, y와 x', y'의 관계는 아래 그림과 같습니다.

그러므로 이 일차변환을 나타내는 행렬은

입니다.


(3) 반사

반사 대화 상자에서 각도(A)의 값을 θ라 하면 x, y와 x', y'의 관계는 아래 그림과 같습니다.

그러므로 이 일차변환을 나타내는 행렬은

입니다.


(4) 기울이기

기울이기는 축에 수직인 직선을 지정된 각도만큼 오른쪽으로 기울이는 변환입니다.
기울이기 각도(S)의 값을 θ라 하고 축의 각도(A)의 값을 α라 할 때, α=0인 경우를 먼저 살펴보겠습니다.

y축을 오른쪽으로 θ만큼 기울였습니다.
이때, 옮겨진 후의 점의 y좌표는 그대로이고 x좌표만 ytanθ만큼 이동하였으므로 이 일차변환은
x' = x+ytanθ
y' = y
이고, 이 일차변환의 행렬은

입니다.

이제 α≠0인 경우를 살펴보겠습니다.

α≠0인 경우, 각 α만큼 회전된 좌표축에 대하여 기울이기를 실행하는 것이 됩니다.
즉, 원래의 점의 좌표를 xα와 yα의 좌표로 바꿔준 다음, 이 좌표에 대하여 기울이기를 실행하고, 다시 원래의 좌표로 바꿔주면 됩니다.

(x, y)를 (xα, yα)로 바꾸는 과정은 각 α만큼 역회전하는 것입니다.
기울이기를 실행한 점을 다시 원래의 좌표로 되돌리려면 점 (xα, yα)을 각 α만큼 회전시키면 됩니다.

즉, 이 일차변환은 역회전, 기울이기, 회전을 차례로 실시하는 일차변환이며, 그 행렬은 다음과 같습니다.

세 행렬의 곱을 계산하면 기울이기 일차변환의 행렬을 알 수 있습니다.