(2) 일차변환과 행렬

이 장에서는 일차변환의 정의에 대하여 알아보고, 행렬을 이용하여 일차변환을 나타내는 방법을 설명합니다.


1. 일차변환의 정의

어떤 점을 일정한 규칙에 따라서 다른 점으로 옮기는 것을 변환(transformation)이라고 합니다.
좌표평면에서 어떤 점의 x좌표와 y좌표를 각각 2배가 되게 하는 과정을 f라 할 때, f는 일정한 규칙에 따라 한 점을 다른 점으로 옮기는 것이므로 변환이라고 할 수 있습니다.

점 A(x, y)는 변환 f에 의하여 점 B(2x, 2y)로 옮겨집니다. 이것을 기호로
f(A)=B
또는
f : (x, y) → (2x, 2y)
로 표현합니다.

일반적으로 변환 f에 의하여 점 (x, y)가 점 (x', y')으로 옮겨지고, x', y'이 각각 x와 y의 이변수함수로 표현된다면 변환 f를
x' = g(x, y)
y' = h(x, y)
로 표현할 수 있습니다. 또한
f : (x, y) → (g(x, y), h(x, y))
로 표현할 수도 있습니다.
앞의 예시에서 예로 든 x좌표와 y좌표를 각각 2배 하는 변환은 g(x, y)=2x이고 h(x, y)=2y인 경우입니다.

점을 변환할 때, 변환되기 전의 점의 차원과 변환된 후의 점의 차원이 같을 필요는 없습니다.
삼차원 좌표공간의 한 점 P(x, y, z)에 대하여, 점 P의 x좌표와 y좌표의 합새로운 x좌표로 하고,
점 P의 y좌표와 z좌표의 합새로운 y좌표로 하는 변환을 f라 하면 f는
f : (x, y, z) → (x+y, y+z)
또는
x' = x+y
y' = y-z
로 표현할 수 있습니다. 변환 f는 삼차원의 점을 이차원으로 옮기는 점입니다.

일반적으로 n차원의 점 A(x1, x2, ..., xn)가 변환 f에 의하여 m차원의 점 B(y1, y2, ..., ym)로 옮겨질 때,
이것을 Rn에서 Rm으로의 변환이라고 합니다.
(Rn은 n차원의 점 전체의 집합을 나타내는 기호입니다.)

수학 그림을 그릴 때는 R2(좌표평면)에서 R2로의 변환과 R3(좌표공간)에서 R2로의 변환만 알면 됩니다.
그러므로 이 강좌에서는 R2에서 R2로의 변환과 R3에서 R2로의 변환만 다룰 것입니다.


변환은 점을 넣으면 점이 튀어나오는 함수라고 생각할 수 있습니다.
정의역 X의 원소가 (1, 2), (2, 1), (3, 2)이고 f가 x좌표와 y좌표를 각각 2배 하는 변환이라고 할 때,
세 점은 변환 f에 의하여 각각 (2, 4), (4, 2), (6, 4)로 옮겨집니다.

정의역 X와 치역 Y의 관계는 아래 그림과 같습니다.

이것을 기호로
f((1, 2)) = (2, 4)
f((2, 1)) = (4, 2)
f((3, 2)) = (6, 4)
로 나타낼 수 있습니다. 여기서 f 안의 이중괄호를 생략하여 보통
f(1, 2) = (2, 4)
f(2, 1) = (4, 2)
f(3, 2) = (6, 4)
로 나타냅니다.


임의의 두 점 X1, X2와 임의의 실수 a에 대하여 변환 f가 다음 두 조건을 만족시키면 f를 일차변환(linear transformation)이라고 부릅니다.
(1) f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2)
(2) f(aX1) = af(X1)
R2에서 R2로의 변환 f가
x' = g(x, y)
y' = h(x, y)
일 때, 변환 f가 일차변환이기 위한 필요충분조건은 g(x, y)와 h(x, y)가 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식인 것입니다. 즉, 변환
x' = 2x+y
y' = 3x-y
는 일차변환이지만, 변환
x' = 2y-1
y' = 3x+y
는 일차변환이 아닙니다.

위의 경우처럼 g(x, y) 또는 h(x, y)가 상수항을 포함한 일차식이라면 이것을 아핀변환(affine transformation)이라고 부릅니다.
즉, 위의 변환은 일차변환이 아니고 아핀변환입니다.

아핀변환은 일차변환에 평행이동을 추가한 변환입니다.


2. 일차변환의 행렬 표현

일차변환 f가
x' = ax+by
y' = cx+dy
일 때, 일차변환 f는 다음과 같이 두 행렬의 곱으로 표현할 수 있습니다.

이때, 행렬 일차변환 f를 나타내는 행렬 또는 일차변환 f의 행렬이라고 합니다.
또한, f를 행렬 로 나타내어지는 일차변환이라고 합니다.

마찬가지로, R3에서 R2로의 일차변환
x' = ax+by+cz
y' = dx+ey+fz
을 행렬을 이용하여 나타내면

입니다.


3. 합성변환과 역변환

일차변환에 의해 한 점이 여러 번 옮겨질 수도 있습니다.
일차변환 f에 의해 옮겨진 점을 또 다시 일차변환 g로 옮기는 변환을 f와 g의 합성변환이라고 하며, 기호로

로 나타냅니다.

예를 들어, 두 일차변환 fg가 각각
x' = 2x+y
y' = 3x-y
x' = x-y
y' = -x+3y
일 때, 점 P(x, y)가 일차변환 f에 의해 옮겨지는 점은 Q(2x+y, 3x-y)입니다.
점 Q의 좌표를 (x', y')이라 하면 점 Q가 일차변환 g에 의해 옮겨지는 점은 R(x'-y', -x'+3y')입니다.
x'=2x+y, y'=3x-y를 넣고 점 R의 좌표를 정리하면 (x'-y', -x'+3y') = ((2x+y)-(3x-y), -(2x+y)+3(3x-y)) = (-x+2y, 7x-4y)입니다.

즉, 점 P를 점 R로 옮기는 변환은 일차변환 h
x' = -x+2y
y' = 7x-4y
입니다. 이 과정을 행렬로 나타내면 아래와 같습니다.

여기에서, 합성변환 의 행렬은 일차변환 g의 행렬과 일차변환 f의 행렬의 곱임을 알 수 있습니다.
즉, 일차변환 f의 행렬이 F이고, 일차변환 g의 행렬이 G일 때, 합성변환 의 행렬은 GF입니다.


일차변환 f에 의하여 점 P(x, y)가 점 Q(x', y')으로 옮겨진다고 할 때, 역으로 점 Q를 점 P로 옮기는 변환을 생각할 수 있습니다.
예를 들어, 일차변환 f
x' = 3x+y
y' = 2x+y
일 때, 이것을 행렬로 표현하면

입니다. 좌변이 Q의 좌표이고 우변의 1×2 행렬이 P의 좌표이므로, 위 식을 x와 y에 대하여 정리하면 점 Q를 점 P로 옮기는 일차변환을 얻습니다.
위 식의 양변의 왼쪽에 행렬 의 역행렬을 곱하면

이므로

입니다.
즉, 점 Q(x', y')를 점 P(x, y)로 옮기는 일차변환의 행렬은 원래 일차변환의 행렬의 역행렬인 입니다.

이와 같이, 일차변환 f를 거꾸로 하는 변환을 f의 역변환이라고 하며, 기호로 f-1로 나타냅니다.
f가 일차변환이면 f의 역변환도 일차변환이며, 일차변환 f의 행렬이 F라면 일차변환 f-1의 행렬은 F-1입니다.

행렬의 역행렬이 항상 존재하는 것은 아니듯이 일차변환의 역변환도 항상 존재하는 것은 아닙니다.
어떤 일차변환의 행렬이 비정칙행렬이면 그 일차변환의 역변환은 존재하지 않습니다.

즉, 일차변환 f의 행렬이 정칙행렬인 것은 일차변환 f의 역변환 f-1이 존재하기 위한 필요충분조건입니다.


4. 도형의 일차변환

x, y에 대한 방정식 f(x, y)=0으로 표현된 도형이 일차변환에 의해 옮겨진 도형의 방정식을 구할 수 있습니다.

예를 들어, 일차변환 f가
x' = x+y
y' = x+2y
일 때, 원 x2+y2=1이 일차변환 f에 의해 옮겨지는 도형의 방정식을 구해 봅시다.
원 x2+y2=1 위의 점 (x, y)가 일차변환 f에 의하여 점 (x', y')으로 옮겨지는데, 위 식을 x, y에 대하여 정리하면
x = 2x'-y'
y = -x'+y'
입니다. 이 결과를 x2+y2=1에 대입하면 x'과 y'의 관계식을 얻습니다.
즉,
(2x'-y')2+(-x'+y')2=1
이고, 정리하면
5(x')2-6(x')(y')+2(y')2=1
입니다. 위 식은 결국 5x2-6xy+2y2=1과 같습니다.
즉, 원 x2+y2=1은 일차변환 f에 의하여 타원 5x2-6xy+2y2=1으로 옮겨집니다.


이 방법을 간단하게 요약하면 다음과 같습니다.
(1) x'=~, y'=~ 형태의 식을 x=~, y=~의 꼴로 정리한다.
(2) (1)에서 얻은 x=~, y=~를 f(x, y)의 x와 y 자리에 대입하여 x'과 y'의 관계식을 얻는다.
(3) (2)에서 얻은 x'과 y'의 관계식에서 프라임 기호(')를 제거하여 도형의 방정식을 얻는다.
이 방법을 이용하면 일차변환 f에 의하여 도형 f(x, y)=0이 옮겨진 도형의 방정식을 얻을 수 있습니다.